TEMA 9 LA PROPORCIONALIDAD, EJERCICIOS DE REPASO
Ejercicios de Práctica
1. Relación de proporcionalidad entre magnitudes Indica si los siguientes pares de magnitudes tienen una relación de proporcionalidad directa (D), inversa (I) o si no son proporcionales (X):
a) El número de entradas para un concierto y el precio total pagado.
b) El número de obreros que trabajan en una obra y el tiempo que tardan en acabarla.
c) La edad de una persona y su altura.
d) La velocidad de un tren y el tiempo que tarda en recorrer una distancia fija.
2. Problemas de proporcionalidad directa
a) Si 5 kilos de naranjas cuestan 7,50 €, ¿cuánto costarán 8 kilos?
b) Un coche consume 6 litros de gasolina cada 100 kilómetros. ¿Cuántos litros consumirá en un viaje de 450 kilómetros?
3. Problemas de proporcionalidad inversa
a) Tres grifos iguales tardan 12 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardarán en llenarlo 4 grifos iguales?
b) Un grupo de 5 personas limpia un local en 6 horas. ¿Cuántas personas se necesitarían para limpiarlo en solo 3 horas?
a) Calcula el 20% de 450.
b) En una clase de 25 alumnos, el 60% son chicas. ¿Cuántas chicas hay en la clase?
c) De un total de 400 personas encuestadas, 60 han respondido "No". ¿Qué porcentaje del total representan estas 60 personas?
5. Aumentos y disminuciones porcentuales
a) Un pantalón que costaba 40 € tiene un descuento del 15%. ¿Cuál es su precio final rebajado?
b) El precio de un videojuego ha subido un 10%. Si antes costaba 55 €, ¿cuál es su precio ahora?
Soluciones
1. Relación de proporcionalidad:
a) D (Directa): A más entradas, más dinero.
b) I (Inversa): A más obreros, menos tiempo.
c) X (No proporcional): La altura no aumenta de forma proporcional a la edad durante toda la vida.
d) I (Inversa): A más velocidad, menos tiempo.
a) 12 €. (7,50 / 5 = 1,5 € por kilo; 1,5 * 8 = 12 €).
b) 27 litros. (6 / 100 = 0,06 litros por km; 0,06 * 450 = 27 litros).
a) 9 horas. (3 grifos * 12 horas = 36 horas totales de trabajo; 36 / 4 grifos = 9 horas).
b) 10 personas. (5 personas * 6 horas = 30 horas totales de trabajo; 30 / 3 horas = 10 personas).
a) 90. (450 * 0,20 = 90).
b) 15 chicas. (25 * 0,60 = 15).
c) 15%. ( (60 / 400) * 100 = 15%).
a) 34 €. (El 15% de 40 es 6; 40 - 6 = 34 €).
b) 60,50 €. (El 10% de 55 es 5,50; 55 + 5,50 = 60,50 €).
Ejercicio 1
Enunciado: Si en veinte minutos he recorrido 5 km, y sigo al mismo ritmo, ¿qué distancia recorreré en una hora? ¿Qué lectura dará el velocímetro en la velocidad media?
Solución:
Distancia: Una hora tiene 60 minutos. Como 60 es el triple de 20 ($60 \div 20 = 3$), la distancia también será el triple:
$$5 \text{ km} \cdot 3 = \mathbf{15 \text{ km}}$$
Velocidad media: Si recorre 15 km en una hora, el velocímetro marcará 15 km/h.
Ejercicio 2
Enunciado: A esa velocidad, ¿cuánto tardaré en recorrer un kilómetro? ¿Y en llegar al pueblo vecino que está a 12 kilómetros?
Solución:
Tiempo para 1 km: Dividimos el tiempo entre los kilómetros: $20 \text{ min} \div 5 \text{ km} = \mathbf{4 \text{ minutos}}$.
Tiempo para 12 km: Multiplicamos el tiempo que tarda en un kilómetro por la distancia total:
$$12 \text{ km} \cdot 4 \text{ min/km} = \mathbf{48 \text{ minutos}}$$
Ejercicio 3
Enunciado: ¿Cuánto tardará, en el mismo recorrido hasta el pueblo vecino (12 km), una máquina agrícola que los adelanta a una velocidad que triplica la suya? ¿Y una furgoneta que los adelanta a 60 km/h?
Solución:
Máquina agrícola: Si su velocidad es el triple ($15 \cdot 3 = 45$ km/h), tardará la tercera parte del tiempo:
$$48 \text{ min} \div 3 = \mathbf{16 \text{ minutos}}$$
Furgoneta (60 km/h): Aplicamos la fórmula $\text{Tiempo} = \text{Distancia} \div \text{Velocidad}$:
$$\frac{12 \text{ km}}{60 \text{ km/h}} = 0,2 \text{ horas}$$
Convertimos a minutos: $0,2 \cdot 60 = \mathbf{12 \text{ minutos}}$.
Ejercicio 4
Enunciado: Cuando llegan, Samuel comprueba que solo han tardado 40 minutos en esos 12 kilómetros. ¿Cuál ha sido su velocidad media en ese tramo?
Solución:
Primero, pasamos los 40 minutos a horas para obtener la velocidad en km/h: $40 \text{ min} = \frac{40}{60} = \frac{2}{3} \text{ de hora}$.
$$V = \frac{\text{Distancia}}{\text{Tiempo}} = \frac{12 \text{ km}}{2/3 \text{ h}} = \frac{12 \cdot 3}{2} = \frac{36}{2} = \mathbf{18 \text{ km/h}}$$
Ejercicio 5
Enunciado: ¿En qué porcentaje han aumentado la velocidad, respecto a la del principio?
Solución:
Velocidad inicial: 15 km/h
Velocidad final: 18 km/h
Aumento real: $18 - 15 = 3$ km/h.
Cálculo del porcentaje: $\frac{\text{Aumento}}{\text{Velocidad inicial}} \cdot 100 \rightarrow \frac{3}{15} \cdot 100 = 0,2 \cdot 100 = \mathbf{20\%}$.
Ejercicio 6
Enunciado: ¿Cuál habría sido la velocidad en ese tramo si, en vez de aumentarla, la hubieran disminuido en ese mismo porcentaje (20%)? ¿Cuánto habrían tardado entonces?
Solución:
Nueva velocidad: Calculamos el 20% de la velocidad inicial (15 km/h) y lo restamos:
$$15 - (0,20 \cdot 15) = 15 - 3 = \mathbf{12 \text{ km/h}}$$
Tiempo empleado: Para recorrer 12 km a una velocidad de 12 km/h:
$$\text{Tiempo} = \frac{12 \text{ km}}{12 \text{ km/h}} = 1 \text{ hora} = \mathbf{60 \text{ minutos}}$$
repaso 2
1. Razones y Proporciones
En este apartado practicamos la igualdad entre dos fracciones (proporciones).
A) Calcula el valor de "x" en las siguientes proporciones:
$\frac{4}{5} = \frac{x}{20}$
$\frac{10}{x} = \frac{2}{3}$
B) Una receta para 4 personas usa 200g de harina. Escribe la razón entre el número de personas y los gramos de harina, y simplifícala.
2. Magnitudes Directamente Proporcionales
A) Completa esta tabla de proporcionalidad directa:
| Kilos de manzanas | 1 | 2 | 3 | 5 |
| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |
| Precio (€) | 1,20 | ? | ? | ? |
B) Si por 3 horas de parking pago 4,50 €, ¿cuánto pagaré por 7 horas? (Usa el método de reducción a la unidad).
3. Magnitudes Inversamente Proporcionales
A) Si 2 excavadoras tardan 10 días en hacer una zanja, ¿cuánto tardarán 5 excavadoras?
B) Un camión que va a 90 km/h tarda 4 horas en completar un trayecto. ¿A qué velocidad debería ir para tardar solo 3 horas?
4. Concepto de Porcentaje
A) Expresa los siguientes porcentajes en forma de fracción irreducible y en forma decimal:
10%
25%
75%
B) Calcula mentalmente:
El 10% de 1200.
El 50% de 78.
El 25% de 40.
5. Problemas de Porcentajes (Tres casos)
A) Hallar la parte: En un bosque de 1.500 árboles, el 12% son pinos. ¿Cuántos pinos hay?
B) Hallar el porcentaje: De los 30 alumnos de una clase, 21 han aprobado el examen. ¿Qué porcentaje de alumnos ha aprobado?
C) Hallar el total: He leído 60 páginas de un libro, lo que representa el 20% del total. ¿Cuántas páginas tiene el libro en total?
6. Aumentos y Disminuciones Porcentuales
A) El precio de un ordenador es de 800 €, pero hay que añadirle el 21% de IVA. ¿Cuál es el precio final?
B) Unas zapatillas de 60 € están rebajadas un 30%. ¿Cuánto pagaré por ellas?
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